ממנהיגי המפלגה הדתית הלאומית (מפד"ל), חבר הכנסת ושר. נולד ב-1909 בדרזדן שבגרמניה. קיבל חינוך תורני מקיף והוסמך לרבנות בברלין. למד באוניברסיטת לייפציג ובאוניברסיטת ברלין, וקיבל שם תואר דוקטור לפילוסופיה. לארץ ישראל עלה ב-1939, ולאחר מכן עסק בהוראה ובפעילויות אחרות בקרב הציבור הציוני הדתי. בשנים 1946–1949 התגורר בפריז וטיפל בניצולי השואה. עם שובו ארצה נעשה לאחד הפעילים של תנועת המזרחי – הפועל המזרחי, והנהיג את סיעת "למפנה", שקראה לשיתוף פעולה עם תנועת העבודה, למתינות בתחום המדיני ולפעולות התיישבות ברוח הססמה "תורה ועבודה". ב-1956 היה ממייסדי המפד"ל. בורג היה חבר בכנסת הראשונה מטעם החזית הדתית המאוחדת, בכנסת השנייה מטעם הפועל המזרחי, בכנסת השלישית מטעם החזית הדתית הלאומית ומטעם המפלגה הדתית הלאומית. מאז ועד תום הכנסת האחת-עשרה, בשנת 1988, כיהן מטעם המפלגה הדתית הלאומית.
יוסף בורג כיהן כסגן יושב-ראש הכנסת בכנסת הראשונה. בשנים 1951–1986 כיהן כשר בממשלות ישראל: ב-1951 התמנה לשר הבריאות; בשנים 1952–1958 כיהן כשר הדואר; בשנים 1959–1970 – כשר הרווחה, בשנים 1970–1976 – כשר הפנים (חוץ מארבעה חודשים ב- 1974). בורג התפטר עם מפלגתו מממשלתו של יצחק רבין ב-1976, בעקבות הימנעותה של המפד"ל בהצבעה על הצעת אי-אמון על רקע חילול שבת לכאורה בבסיס חיל האוויר.
בממשלה שהקים מנחם בגין ב-1977 נתמנה לשר הפנים, הדתות והמשטרה. ב-1979 נתמנה לראש ועדת השרים לניהול שיחות האוטונומיה, וניהל אותן עד שהגיעו למבוי סתום ב-1980.
מ-1977 ועד 1986 עמד בורג בראש המפד"ל, אך בהנהגתו המתונה יחסית מבחינה אידיאולוגית, בשנים שבין הכנסת התשיעית (1977) לכנסת ה-11 (1984), איבדה המפלגה שמונה מ-12 המנדטים שהיו לה. בממשלת האחדות הלאומית בראשות
שמעון פרס שקמה ב-1984 נתמנה בורג לשר הדתות בלבד, ותיק הפנים נמסר ל
ש"ס. פעמים אחדות אמר בורג שבכוונתו לוותר על כיסאו ולפנות מקום למנהיגות הצעירה, ולבסוף פרש באוקטובר 1986. את מקומו בממשלת האחדות הלאומית בראשות
יצחק שמיר תפס
זבולון המר. לאחר פרישתו מהזירה הפוליטית שימש נשיא המזרחי העולמי ויושב-ראש "יד ושם" ועסק בכתיבה.